איפכא מסתברא - הפרדוכס של Bertrand




לפניך שאלה הסתברותית פשוטה:
במעגל נתון מעבירים באופן מקרי מיתר.
מה ההסתברות שאורכו גדול מאורך הצלע של
משולש שווה צלעות החסום במעגל?

בטרם תשנס מתניך ותשחיז את עפרונך,
עיין בשלושת הפתרונות המוצעים:
פתרון 1:

את המיתר אפשר להעביר מנקודה כלשהי כרצוננו.
נתבונן במיתר היוצא מ-A. אורך המיתר נקבע לפי מיקומה של נקודת הקצה השנייה שלו. אם נקודה זו נופלת בתוך הקשת אז אורכו של המיתר המתקבל גדול מאורך הצלע AB. ואם הוא מחוץ לקשת, אז אורך המיתר קטן מצלע המשולש. היות ושלוש הקשתות:  שוות באורכן ,
ההסתברות שהנקודה המקרית היא על הקשת
היא בברור 1/3 .
פשוט והגיוני, לא כן?
אך אל תניח את קשתך, עיין נא בפתרון הבא:

פתרון 2:

נתבונן באנך האמצעי לצלע AB של המשולש שווה הצלעות ABC. האנך חותך את AB בנקודה E.
OE שווה באורכו למחצית הרדיוס (שחזור מהיר של משפטים גאומטריים מוכיח זאת). כמו כן ברור כי ככל שהמיתר ארוך יותר, מרחקו מהמרכז קטן יותר.
נעביר אם כך רדיוס מקרי OD בעיגול, E אמצע הקטע OD , ונעביר באופן מקרי מיתר המאונך לו.
אם המיתר חותך את OD בתוך הקטע EO, אורך המיתר גדול מצלע המשולש, ואם הוא חותך את הרדיוס בין E D-ל , אורך המיתר שהתקבל קטן מצלע המשולש.
היות ש-DE=OE' ההסתברות לחיתוך המיתר EO-ב היא בדיוק 1/2.
המתן רגע, עדיין לא סיימנו.
אפשר להשתלט על הבעיה גם באופן הבא:

פתרון 3:

מיתר במעגל נקבע באופן יחיד באמצעות נקודת האמצע שלו.
היכן נופלת נקודת האמצע של המיתר?
נתבונן במעגל פנימי בעל אותו מרכז, שרדיוסו חצי מרדיוס המעגל המקורי.
צלעותיו של משולש שווה צלעות החסום במעגל החיצוני משיקות בברור למעגל הפנימי, וכל מיתר אחר - אם אמצעו נמצא בתוך המעגל הקטן, אורכו גדול מצלע המשולש, ואם אמצעו נמצא מחוץ למעגל הקטן, אורכו גדול מצלע המשולש.
שטחו של העיגול הקטן הוא ¼ משטח העיגול המקורי (מדוע?) ולכן ההסתברות לבחור את נקודת האמצע בנקודה בתוך המעגל הפנימי, היא 1/4 -
וזוהי ההסתברות למיתר שאורכו גדול מצלע
המשולש שווה הצלעות.

מה קורה פה ?